Question

数列{b_n}中，b₁=a，b2=a2，其中a＞0，对于函数f(x)=

1

3

(bn+1-bn)x3-(bn-bn-1)x（n≥2）有f′(

1

a

)=0．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若

1

2

＜a＜2，cn=

1

2

(bn+

1

bn

)，s_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：sn＜2n-(

2

2

)n．

Answer 1

分析：（1）通过求导数结合已知可得（b_n+1-b_n）

1

a

-（b_n-b_n-1）=0，可得数列为b2-b1=a2-a为首项，a为公比的等比数列，再由迭代法易得通项；
（2）由（1）可知，cn=

1

2

(bn+

1

bn

)=

1

2

（aⁿ+a^-n），由

1

2

＜a＜2，可得（2a）ⁿ＞1且aⁿ＜2ⁿ，又（2ⁿ+2^-n）-（aⁿ+a^-n）=

1

(2a)n

[（2a）ⁿ-1]（2ⁿ-aⁿ）＞0，即（2ⁿ+2^-n）＞（aⁿ+a^-n），故可得s_n＜

1

2

[(2+

1

2

)+(22+

1

22

)+…+(2n+

1

2n

)]，对式子的右边求和可得答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

(bn+1-bn)x3-(bn-bn-1)x，∴f′（x）=(bn+1-bn)x2-(bn-bn-1)，
∴f′（

1

a

）=（b_n+1-b_n）

1

a

-（b_n-b_n-1）=0，∴b_n+1-b_n=a（b_n-b_n-1）
∴数列{b_n+1-b_n}是以b2-b1=a2-a为首项，a为公比的等比数列，
∴b_n-b_n-1=（a-1）a^n-1
又b_n=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+…+b_n-b_n-1，
∴a≠1时，b_n=aⁿ，当a=1时，b_n=a
综上可知：b_n=aⁿ…（6分）
（2）由

1

2

＜a＜2，可得（2a）ⁿ＞1且aⁿ＜2ⁿ，∴（2ⁿ+2^-n）-（aⁿ+a^-n）=

1

(2a)n

[（2a）ⁿ-1]（2ⁿ-aⁿ）＞0
∴s_n＜

1

2

[(2+

1

2

)+(22+

1

22

)+…+(2n+

1

2n

)]
=

1

2

[2+22+23+…+2ⁿ+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

]=2n-

1

2

(1+

1

2n

)
又1+

1

2n

＞2

1 2n

∴

1

2

(1+

1

2n

)＞(

2

2

)n
∴2n-

1

2

(1+

1

2n

)＜2ⁿ(

2

2

)n
∴sn＜2n-(

2

2

)n…（12分）

点评：本题为数列求和与不等式以及函数导数的结合，构造数列求和是解决问题的关键，属中档题．