Question

【题目】设集合， 是集合的所有子集组成的集合.若集合满足对任意的映射，总存在，使得成立，其中，表示集合的子集的补集，为给定的正整数.试求所有满足上述条件的集合.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

记.若存在有限子集，满足.

首先证明：存在映射，对任意的集合，均有.

设集合的全部子集构成的集合为,

其中，，，，.

定义映射，，，则对任意的，均有.

定义映射，对于任意的，设，.则.

定义

其中，.则对任意的，均有.

因此，对于映射，若不存在集合，使得，则.

其次证明：对任何有限集，，均满足题设条件.

反证法.

假设存在映射，使得对任意的，均有.

任取，由是有限集，故必存在整数，使得，且对任意的、，有.

设.则.

同理，，，……

.

由此知.

所以，，与不含不为1的奇数因子矛盾.

因此，不存在这样的映射，使得对任意的，均有，即对任一映射，均存在，有.

从而，必为所有元素个数小于或等于的实数的集合.