Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆方程；

（2）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点， 为直线上的一点，若△为等边三角形，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线的方程为，或.

【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、两点间距离公式、直线的方程等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用椭圆的标准方程中a,b,c的关系，焦点坐标，离心率列出方程组，解出a和b，从而得到椭圆的标准方程；第二问，点斜式设出直线方程，由于直线与椭圆交于A，B，则直线与椭圆方程联立消参得到关于x的方程，设出A，B点坐标，利用韦达定理，得到， ，再结合两点间距离公式求出的长，利用中点坐标公式得出AB中点M的坐标，从而求出|MP|的长，利用为正三角形，则，列出等式求出k的值，从而得到直线的方程.

（1）依题意有， ．

可得， ．

故椭圆方程为． ５分

（2）直线的方程为．

联立方程组

消去并整理得．

设， ．

故， ．

则．

设的中点为．

可得， ．

直线的斜率为，又，

所以．

当△为正三角形时，，

可得，

解得．

即直线的方程为，或． 13分