Question

【题目】如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，点在侧棱上．

（1）求证：平面；

（2）若侧棱与底面所成角的正切值为，点为侧棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) ．

【解析】

试题分析：(1)要证明平面，就是要证与平面内两条相交直线垂直，由已知底面，得，因此还要证（们是相交的直线），这个可利用勾股定理可得；（2）由已知得棱与底面所成角就是，即，要求异面直线和所成的角，我们一般平移其中一条直线使之与另一条相交，图中由于，为的中点，取的中点，则有且，从而且，因此是平行四边形，，则就是异面直线和所成的角，解三角形可得.

试题解析：（1）由已知可算得，，

故，

又，平面，故，

又，所以平面；………………………6分

（2）如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，易证明，

则即异面直线与所成角；

又底面，即为与底面所成角，

即，，即，

易求得，，则在中，，

即异面直线与所成角的余弦值为． ………………………12分