Question

【题目】已知数列的各项均为正数，其前n项的积为，记，.

（1）若数列为等比数列，数列为等差数列，求数列的公比.

（2）若，，且

①求数列的通项公式.

②记，那么数列中是否存在两项，（s，t均为正偶数，且），使得数列，，，成等差数列？若存在，求s，t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）数列的公比为1（2）①②存在；s，t的值为和

【解析】

（1）由得的等式，再由可求得的关系，得出结论；

（2）①已知条件可变形为（），从而可求出，从而可得，注意，求积可得；

②由①知.利用导数研究函数的单调性得数列的单调性：，假设存在s，t满足题意，若，由单调性出现矛盾，这样，，分别求．即可得结论．

（1）因为数列为等差数列，

所以.

又因为，，，

所以（*）

因为数列为等比数列，所以，

代入（*）得，即，

所以，

故数列的公比为1.

（2）①当时，由

得，

从而

又因为，，

所以

故，，

所以.

综上，数列的通项公式为.

②由①知.

记，则，

从而函数在上单调递增，在上单调递减.

又因为，

所以.

假设存在s，t满足题意，若，

则，，所以，不合题意，

所以s只能为2，4，6，且.

（i）当时，由，得，

故.

由数列的单调性可知存在唯一的满足题意.

（ii）当时，由，得，

故.

同（i）知.

（ⅲ）当时，由，得

故.

又因为，

由数列的单调性知，故，

但不成立，所以与题意不符.

综上，满足条件的s，t的值为和.