Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+α）（A＞0，ω＞0，﹣ ＜α＜ ）的最小正周期是π，且当x= 时，f（x）取得最大值2．
（1）求f（x）的解析式，并作出f（x）在[0，π]上的图象（要列表）；
（2）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求m的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数f（x）的最小正周期是π，所以ω=2．

又因为 时，f（x）取得最大值2．所以A=2，

同时 ， ，∵ ∴ ，

∴函数y=f（x）的解析式 ．

∵x∈[0，π]，∴ ，列表如下：

			π		2π
x	0					x
f（x）	1	2	0	﹣2	0	1

描点、连线得下图

（2）解：由已知得y=g（x）=f（x﹣m）= 是偶函数，

所以 ， ，

又因为m＞0，所以m的最小值为

【解析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得m的最小值．
【考点精析】本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识点，需要掌握描点法及其特例—五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）；图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能正确解答此题．