Question

【题目】已知数列{an}中，a1=2，an+1﹣an﹣2n﹣2=0（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式 恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得an+1﹣an﹣2n﹣2=0，则an+1﹣an=2n+2，

∴an﹣an﹣1=2n（n≥2），

∴a2﹣a1=2×2，a3﹣a2=2×3，…，an﹣an﹣1=2n，

通过叠加得an=2（2+3+…+n）+a1

=2× +2=n（n+1）（n≥2）．

又∵a1=2符合此通项公式，

∴an=n（n+1）

（2）解：由（1）得，

= +…+

=（ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）

= = = ，

设y=2x+ +3，则函数在（ ，+∞）上递增，

∴当n=1时， 取到最小值为6，

∴bn的最大值为 ，

故要使不等式 对一切m∈[﹣1，1]成立，

须使 ，即t2﹣2mt＞0对一切m∈[﹣1，1]恒成立．

设g（m）=t2﹣2mt，

当t=0时，g（m）＞0不成立，

当t≠0时，g（m）是一次函数，

则 ，即 ，解得t＞2或t＜﹣2，

综上得，t的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

【解析】（1）由题意得an﹣an﹣1=2n（n≥2），再给n具体值列出方程，利用叠加法和等差数列的前n项和公式，求出an；（2）由（1）表示出bn ， 再通过裂项相消法化简bn ， 构造函数y=2x+ +3判断出单调性，再求出 的最小值，即求出bn的最大值，由恒成立列出不等式：t2﹣2mt＞0，再一次构造函数g（m）=t2﹣2mt，并进行分类列出恒成立的条件，求出t的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．