Question

已知函数f(x)=

px2+2

x-q

，对定义域中的所有x都满足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5
（1）求实数p，q的值；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）利用条件f（x）+f（-x）=0和f（2）=5建立方程，即可求实数p，q的值；
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

px2+2

x-q

，对定义域中的所有x都满足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5，
∴f（2）=

4p+2

2-q

=5，
即4p+2=10-5q，
∴4p+5q=8，
由f（x）+f（-x）=0得

px2+2

x-q

=-

px2+2

-x-q

=

px2+2

x+q

，
∴-q=q，解得q=0，
∴p=2．
（2）∵p=2，q=0，
∴函数f(x)=

px2+2

x-q

=

2x2+2

x

=2x+

2

x

，
f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
证明：设x₂＞x₁≥1，
则f（x₂）-f（x₁）=2(x2-x1)+

2(x1-x2)

x1x2

=2(x2-x1)•

x1x2-1

x1x2

，
∵x₂＞x₁≥1，
∴x₂-x₁＞0，x₂x₁＞1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在[1，+∞）上的单调递增．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和证明，利用函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法．