【题目】已知椭圆 的焦距为
,斜率为
的直线与椭圆交于
两点,若线段
的中点为
,且直线
的斜率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过左焦点斜率为
的直线
与椭圆交于点
为椭圆上一点,且满足
,问:
是否为定值?若是,求出此定值,若不是,说明理由.
【答案】(1) .
(2) 为定值
.过程见解析.
【解析】分析:(1)焦距说明,用点差法可得
=
.这样可解得
,得椭圆方程;
(2)若,这种特殊情形可直接求得
,在
时,直线
方程为
,设
,把直线方程代入椭圆方程,后可得
,然后由纺长公式计算出弦长
,同时直线
方程为
,代入椭圆方程可得
点坐标,从而计算出
,最后计算
即可.
详解:(1)由题意可知,设
,代入椭圆可得:
,两式相减并整理可得,
,即
.
又因为,
,代入上式可得,
.
又,所以
,
故椭圆的方程为.
(2)由题意可知,,当
为长轴时,
为短半轴,此时
;
否则,可设直线的方程为
,联立
,消
可得,
,
则有:,
所以
设直线方程为
,联立
,根据对称性,
不妨得,
所以.
故,
综上所述,为定值
.
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【题目】“克拉茨猜想”又称“猜想”,是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数
,如果
是偶数,就将它减半;如果
为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,最终都能够得到1.己知正整数
经过6次运算后得到1,则
的值为__________.
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【题目】某地西红柿从2月1号起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本(单位:元/100
)与上市时间
(距2月1日的天数,单位:天)的数据如下表:
时间 | 50 | 110 | 250 |
成本 | 150 | 108 | 150 |
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间
的变化关系:
;
(2)利用(1)中选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数
及最低种植成本.
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【题目】已知定义在区间上的函数y=f(x)的图象关于直线x=-
对称,当x∈
时,函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的图象如图所示.
(1)求函数y=f(x)在上的表达式;
(2)求方程f(x)=的解.
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【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间
的一组数据,且作了一定的数据处理(如下表),得到了散点图(如下图).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中.
(1)根据散点图判断,与
哪一个更适宜作烧水时间
关于开关旋钮旋转的弧度数
的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立关于
的回归方程;
(3)若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比,那么
为多少时,烧开一壶水最省煤气?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
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【题目】已知函数
(1)求证:
(2)若函数的图象与直线
没有交点,求实数
的取值范围;
(3)若函数,则是否存在实数
,使得
的最小值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知某盒子中共有个小球,编号为
号至
号,其中有
个红球、
个黄球和
个绿球,这些球除颜色和编号外完全相同.
(1)若从盒中一次随机取出个球,求取出的
个球中恰有
个颜色相同的概率;
(2)若从盒中逐一取球,每次取后立即放回,共取次,求恰有
次取到黄球的概率;
(3)若从盒中逐一取球,每次取后不放回,记取完黄球所需次数为,求随机变量
的分布列及数学期望
.
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【题目】某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务.该公司有
辆载重
的
型卡车与
辆载重为
的
型卡车,有
名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为
型卡车
次,
型卡车
次;每辆卡车每天往返的成本费
型为
元,
型为
元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?若只安排
型或
型卡车,所花的成本费分别是多少?
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