Question

【题目】如果存在常数k使得无穷数列满足恒成立，则称为数列.

（1）若数列是数列，，，求；

（2）若等差数列是数列，求数列的通项公式；

（3）是否存在数列，使得，，，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）存在；满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为.

【解析】

（1）根据数列的定义，得，，可求；

（2）根据数列的定义，得，分和两种情况讨论. 当，.当时，由是等差数列，对赋值，求出和公差，即求；

（3）假设存在满足条件的数列，设等比数列，，，…的公比为q.则有，，可得q＝1，故当时，.当时，不妨设，且i为奇数，

由，可得.

即满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为.

（1）由数列是数列，得，，可得；

（2）由是数列知恒成立，取m＝1得恒成立，

当，时满足题意，此时，

当时，由可得，取m＝n＝2得，

设公差为d，则解得或者，

综上，或或，经检验均合题意.

（3）假设存在满足条件的数列，

不妨设该等比数列，，，…的公比为q，

则有，

可得①

，

可得②

综上①②可得q＝1，

故，代入得，

则当时，，

又，

当时，不妨设，且i为奇数，

由，

而，，，.

综上，满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为.