Question

【题目】已知抛物线C: ，点.

（1）求点P与抛物线C的焦点F的距离；

（2）设斜率为l的直线l与抛物线C交于A，B两点若△PAB的面积为，求直线l的方程；

（3）是否存在定圆M: ，使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点A，B时，总有直线AB也与圆M相切？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）P（1，0），距离为5；（2）y＝x﹣1；（3）Q，存在实数m＝3，使得直线AB与圆M相切．

【解析】

（1）求得抛物线的焦点坐标，由两点距离公式，计算可得所求距离；

（2）设直线l的方程为y＝x+a，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式以及三角形的面积公式，解方程可得a，进而得到直线方程；

（3）取Q（0，0），切线为y＝kx，求得切点A，B，和直线AB，由相切可得m＝3，证明对任意的动点Q，直线AB与圆相切，必有m＝3．设Q（a2，a），l：x＝t（y﹣a）a2，A（y12，y1），B（y22，y2），运用直线和圆相切的条件和韦达定理，求得AB的方程，计算圆心到直线AB的距离，即可得证．

（1）抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为（1，0），

则点P与抛物线C的焦点F的距离为5；

（2）设直线l的方程为y＝x+a，

把y＝x+a方程代入抛物线y2＝4x，

可得x2+2（a﹣2）x+a2＝0，

∴x1+x2＝4﹣2a，x1x2＝a2，

∴|AB||x1﹣x2|

4，

点P到直线的距离d，

∴S△PAB|AB|d

42，

解得a＝﹣1，

∴直线l的方程y＝x﹣1；

（3）取Q（0，0），圆（x﹣m）2+y2＝4，切线为y＝kx，

由2，解得k2，①

将直线y＝kx代入抛物线方程y2＝4x，

解得A（，），B（，），

直线AB的方程为x，

若直线和圆相切，可得|m|＝2②

由①②解得m＝3或2（舍去）．

综上可得，对任意的动点Q，直线AB与圆相切，必有m＝3．

下证m＝3时，对任意的动点Q，直线AB和圆相切．

理由如下：设Q（a2，a），l：x＝t（y﹣a）a2，A（y12，y1），B（y22，y2），

由2，可得（a2﹣4）t2﹣（a2﹣6）at+（a2﹣3）2﹣4＝0，

∴t1+t2，t1t2，

又直线与曲线相交于A，B，

由x＝t（y﹣a）a2，代入抛物线方程可得y2﹣4ty+4ta﹣a2＝0，

可得y12＝4t1（y1﹣a）+a2，y22＝4t2（y2﹣a）+a2，

则a，y1是方程y2＝4t1（y﹣a）+a2的两根，

即有ay1＝4t1a﹣a2，即为y1＝4t1﹣a，同理y2＝4t2﹣a．

则有A（（4t1﹣a）2，4t1﹣a），B（（4t2﹣a）2，4t2﹣a），

直线AB：y﹣（4t1﹣a）（x（4t1﹣a）2），

即为y﹣（4t1﹣a）（x（4t1﹣a）2），

则圆心（3，0）到直线AB的距离为

d，

由（a2﹣4）t12﹣（a2﹣6）at1+（a2﹣3）2﹣4＝0，

代入上式，化简可得d2，

则有对任意的动点Q，存在实数m＝3，使得直线AB与圆M相切．