Question

MN为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的垂直于实轴的动弦，P，Q为双曲线C的项点，直线MQ与直线PN交于点F，直线NQ与直线PM交于点E，则下列说法：
①存在a，b＞0及动弦MN，使得P，E，Q，F四点共圆；
②对任意a，b＞0，都存在动弦MN，使得P，E，Q，F四点共圆；
③存在a，b＞0及动弦MN，使得P，E，Q，F四点共椭圆，且PQ为椭圆的长轴；
④存在a，b＞0及动弦MN，使得P，E，Q，F四点共椭圆，且PQ为椭圆的短轴．
其中正确的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：根据题意设出M，N的坐标，结合点P，Q的坐标，表示出直线MQ和直线NP，根据直线MQ与直线PN交于点F，直线NQ与直线PM交于点E，确定出点E，F的轨迹方程，即可判断各选项的正误，从而得到答案．

解答：解：∵MN为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的垂直于实轴的动弦，
∴设M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），F（x，y），
∵P，Q为双曲线C的项点，
∵P（-a，0），Q（a，0），
∴直线l_MQ：y=

y0

x0-a

(x-a)，直线l_NP：y=

-y0

x0+a

(x+a)，
上述两式相乘得，y2=

-y02

x02-a2

(x2-a2)，
将

x02

a2

-

y02

b2

=1代入上式，消元化简得，C′：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a，b＞0)，
∴点E，F的轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a，b＞0)，
当a=b时，上式表示圆的方程，
当a≠b时，上式表示椭圆，且PQ为长轴还是短轴取决于a，b的大小，
综上所述，可知选项①③④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了圆锥曲线的共同特征，涉及了求点的轨迹方程的求解，属于圆锥曲线中的探索性问题，有一定的能力要求．属于难题．