Question

【题目】如下图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面， ， 为中点，且.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求证： ；

（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）．

【解析】试题分析：(I)由中位线定理得出 ,故平面ACF;
（Ⅱ）由面面垂直的性质得出平面CDE,故而 ,又 ,于是平面DAE,从而 ;
（Ⅲ）过F作于点M，连接CM，,则可证平面ABCD,于是 为所求的线面角,利用勾股定理和相似三角形求出, ,得出 .

试题解析：（Ⅰ）证明：如下图，连接BD和AC交于点O，

连接OF，

为正方形，

为BD的中点，

为DE的中点，

，

平面ACF，

平面ACF，

平面ACF．

（Ⅱ）证明： 平面CDE，

平面CDE，

，

为正方形，

，

，AD， 平面DAE，

平面DAE，

平面DAE，

．

（Ⅲ）解：如图，过F作于点M，连接CM，

平面DAE， 平面ABCD，

平面DAE，

又平面， ，

平面ABCD，

是FC在平面ABCD上的射影，

是FC与平面ABCD所成角，

， ， ，

．