Question

【题目】四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,60°, , 是中点,点在侧棱上.

（Ⅰ）求证: ;

（Ⅱ）是否存在,使平面 平面？若存在,求出,若不存在,说明理由.

（Ⅲ）是否存在,使平面？若存在,求出.若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.

【解析】试题分析：（1）取中点,通过证明平面，可证。（2）以为坐标原点,OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法寻找点Q.(3)由（2）用空间向量法寻找点Q.

试题解析：

（Ⅰ）取中点,连接.

因为,所以.

因为菱形中, ,所以.

所以.

因为,且平面,所以平面.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,

因为侧面底面,且平面底面,所以底面.

以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.

则,因为为中点,所以.

所以,所以平面的法向量为.

因为,设平面的法向量为,

则,即.

令,则,即.

所以.

由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.

（Ⅲ）设

由（Ⅱ）可知.

设,则,

又因为,所以,即.

所以在平面中, ,

所以平面的法向量为,

又因为平面,所以,

即,解得.

所以当时, 平面