Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，F为棱PA上一点，且，M为AD的中点，四棱锥的体积为．

（1）若，N是PB的中点，求证：平面平面PCD；

（2）在（Ⅰ）的条件，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）.

【解析】

（1）由是AP的中点，证得，又由四边形是矩形，证得，从而证得面，再由，证得面，最后利用面面平行的判定定理，即可得到平面平面．

（2）连接，根据面面垂直的性质，证得面，又由是的中点，得到到面的距离等于到面的距离的一半，利用体积公式，即可求解．

（1）因为，所以是的中点，又因为N是PB的中点，所以，

由四边形是矩形，得，故，

由，面，所以面

又由，且面，面，所以面，

又因为面

根据面面平行的判定定理，可得平面平面．

（2）连接，由是等边三角形，得，

又因为面面，面面，面，

所以面

因为是的中点，所以到面的距离等于到面的距离的一半，

设．