Question

【题目】已知点E在椭圆上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点，与y轴相交于A，B两点，且是边长为2的正三角形．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知圆，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出的值；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）以为直径的圆过原点，坐标为，且为定值

【解析】

（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道，这样可以求出点E的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出、的值，再根据，最后求出的值，也就求出椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M、N两点的坐标，判断是否成立，可以判断以为直径的圆是否过定点，也就能求出的值；

当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程，设出M、N两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，

联立直线方程和椭圆方程，消去，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数关系，计算的值，最后可以求出的值.

解：（Ⅰ）由题意可得轴，则，

因为是边长为2的正三角形，

所以

，且，

解得，，

所以椭圆方程为．

（Ⅱ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时，

可设切线方程为，可得，，

则，所以，

此时以为直径的圆过原点，

为定值；

当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为，，，

由直线和圆相切可得，即，

联立直线方程和椭圆方程，

可得，

即有，，，

，

可得，

此时．

综上可得以为直径的圆过原点，且为定值．