Question

已知函数f （x）=lnx，g（x）=e^x．

（I）若函数φ （x） = f （x）－，求函数φ （x）的单调区间；

（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x₀，f （x₀））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

 

Answer 1

【答案】

（1）增区间为；（2）见解析.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

解：（Ⅰ） ，

．             2分

∵且，

∴

∴函数的单调递增区间为．   4分

   （Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切线的方程为,

     即,   ①              6分

设直线与曲线相切于点，

∵，∴，∴．      8分

     ∴直线也为，

即，  ②                 9分

    由①②得 ，

∴．          11分

     下证：在区间（1，+）上存在且唯一．

由（Ⅰ）可知，在区间上递增．

又，，          13分

结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．                  

故结论成立． 14分