Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）当时，为函数在上的零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）或.（2）见解析

【解析】

（1）先求导，根据函数在上是单调函数，转化为在上恒成立，即，在上恒成立，即，令，用导数法求导其最值即可.

（2）由时，，则，易得 在上单调递增，由，得到在上单调递减，结合，，，进一步确定，将证明，转化为证，令，，用导数法证即可.

（1），

当函数在上单调递减，

则在上恒成立，即，

设，，

则.

因为，

所以.

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

所以，故.

当函数在上单调递增时，

则在上恒成立，即，

由上可知，故.

综上所述，实数的取值范围为或.

（2）当时，，故，

，由于和在上单调递增，

∴在上单调递增，

∴，故在上单调递减.

又，，

∴存在唯一的，使得，

∴在单调递增，在单调递减.

又，，，

∴函数在上的零点，

即.

要证，

即证.

设，，

则.

显然在上恒成立，

所以在上单调递增.

∴，故原不等式得证.