Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）由中位线的性质得出，再由线面平行的判定定理可证得平面；

（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用空间向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求出平面的一个法向量，利用空间向量法可求得二面角的余弦值．

（Ⅰ）因为，，所以，

且平面，平面，则平面；

（Ⅱ）因为，，且，所以平面，

则以点为原点建立空间直角坐标系（如图），

设，可得，，，、、．

向量，，.

设为平面的法向量，则，即，

不妨令，可得为平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

于是有，

因此，直线与平面所成角的正弦值为；

（Ⅲ）因为为平面的法向量，所以，

由图形可知，二面角的平面角为锐角，它的余弦值为.