Question

已知函数（且）．

(1) 试就实数的不同取值，写出该函数的单调递增区间；

(2) 已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，求的值并写出函数的解析式；

(3) （理）记(2)中的函数的图像为曲线，试问是否存在经过原点的直线，使得为曲线的对称轴？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．

    (文) 记(2)中的函数的图像为曲线，试问曲线是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

(1) ①当时，函数的单调递增区间为及，

   ②当时，函数的单调递增区间为及，

   ③当时，函数的单调递增区间为及．

                                                           

     (2) ．                    

 (3) （理）存在直线及为曲线的对称轴．          

   （文）函数为奇函数，曲线为中心对称图形．

解析:

(1) ①当时，函数的单调递增区间为及，

   ②当时，函数的单调递增区间为及，

   ③当时，函数的单调递增区间为及．

                                                                 （6分）

     (2) 由题设及(1)中③知且，解得，             （9分）

        因此函数解析式为．                     （10分）

 (3) （理）假设存在经过原点的直线为曲线的对称轴，显然、轴不是曲线的对称轴，故可设：（），

   设为曲线上的任意一点，与关于直线对称，且

，，则也在曲线上，由此得，，

        且，，                            （14分）

        整理得，解得或，

        所以存在直线及为曲线的对称轴．           （16分）

   （文）该函数的定义域，曲线的对称中心为，

   因为对任意，，

   所以该函数为奇函数，曲线为中心对称图形．