Question

【题目】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长都分别为x，y（单位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面积为4dm2．

（1）求y关于x的函数解析式，并求其定义域；

（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．

Answer 1

【答案】（1）y关于x的函数解析式，定义域为(0，2)；

（2）当x取，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为．

【解析】

（1）利用正十字形面积可构造关于的等式，整理可得函数关系式；利用且可解不等式求得定义域；（2）利用外接圆直径可得，利用基本不等式可求得的最小值及取得最小值时的取值，代入圆的面积公式即可求得面积的最小值.

（1）由题意可得：，则：

且，即

关于的解析式为，定义域为

（2）设正十字形的外接圆的直径为

当且仅当，即时取等号

即时，

正十字形外接圆面积：

即正十字形外接圆面积的最小值为：，此时