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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程是：

    （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.

    （2）点是曲线上的动点，求点到直线距离的最大值与最小值.

    【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为

    （2），

    【解析】

    （1）由曲线的参数方程消去参数，即可求出其普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式即可求出直线的直角坐标方程；

    （2）由曲线C的参数方程，先设点，再由点到直线的距离公式即可求解.

    解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数），

    ∴曲线的普通方程为

    ∵直线的极坐标方程是：

    ∴

    ∴直线的直角坐标方程为

    （2）∵点是曲线上的动点，

    ∴设，则到直线的距离：

    ，

    ∴当时，点到直线距离取最大值

    当时，点到直线距离取最小值

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    （1）求出与，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

    （2）用分层抽样的方法从销售单价在[8，20]内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；

    （3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．

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    【题目】已知函数.

    （1）若恒成立，求实数的最大值；

    （2）在（1）成立的条件下，正实数，满足，证明：.

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    【题目】自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：

    20以下

    [20,30)

    [30,40)

    [40,50)

    [50,60)

    [60,70]

    70以上

    使用人数

    3

    12

    17

    6

    4

    2

    0

    未使用人数

    0

    0

    3

    14

    36

    3

    0

    （Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；

    （Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望；

    （Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.

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    【题目】已知函数.

    （Ⅰ）若函数有两个零点，求的取值范围；

    （Ⅱ）证明：当时，关于的不等式在上恒成立.

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