Question

已知数列{a_n}是首项a₁=a，公差为2的等差数列，数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n；
（Ⅰ）若a₁、a₃、a₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）因为a₁、a₃、a₄成等比数列，所以a₁•a₄=a₃²，由此能求出a_n．
（II）由2b_n=（n+1）a_n，结合配方法，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为a₁、a₃、a₄成等比数列，
所以a₁•a₄=a₃²，
即a•（a+6）=（a+4）²，∴a=-8，
∴a_n=-8+（n-1）×2=2n-10，
（II）由2b_n=（n+1）a_n，
b_n=n²+

a

2

n+

a-2

2

=（n+

a

4

）²-（

a-4

4

）²，
由题意得：

9

2

≤-

a

4

≤

11

2

，
∴-22≤a≤-18．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．