Question

【题目】在极坐标系中，点的极坐标是，曲线的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.

（1）若时，写出直线和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线和曲线相交于不同的两点，求线段的中点的在直角坐标系中的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得解；

(2)方法一：设直线的参数方程为：（为参数）与曲线的方程联立，根据参数的几何意义求得，代入直线方程求得化简消参即可得出结果.

方法二: 由于直线的斜率存在，设直线，与曲线方程联立，根据韦达定理可得，代入直线求得，化简可得，即可得出结果.

解：（1）点的直角坐标为，所以直线

，可得，

即

（2）如图可知，直线和圆相切时，.

方法一：设直线的参数方程为：（为参数）

由于直线和曲线相交，所以

联立直线和曲线的方程可得

所以，即

因此，其中

即点的轨迹方程为，

方法二：显然直线的斜率存在，不妨设为，即直线，

与联立可得：，

，可以解得，即：

设，，所以，所以，

可得

所以

另一方面，由于，所以

综上，点的轨迹方程为，