Question

【题目】在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．

（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；

①，；②，．

（2）给定，，点集．

（）求集合中与点相关的点的个数；

（）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（）个（）.

【解析】

（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.

（2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数；（）由（1）可知相关点满足，利用分类讨论证明，即可求得中元素个数的最大值．

若点，相关，则，，而，

不妨设，

则由定义可知，

化简变形可得，

（1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关；

②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关.

（2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点.

在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；

在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；

原点满足条件；

因此集合中共有个点与点相关.

（）若两个不同的点，相关，其中，，，，

可知.

下面证明.

若，则，成立；

若，则，

若，则，亦成立.

由于，

因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点.

因此中元素个数的最大值为.