Question

g（x）=ax-

b

x

-2f（x），其中f（x）=lnx，且g（e）=be-

a

e

-2（e为自然对数的底数）．
（1）求a与b的关系；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（3）证明：①f（x）≤x-1；②

ln2

22

+

ln3

32

+…

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N，n≥2）．

Answer 1

分析：（1）由题意g(x)=ax-

b

x

-2lnx及g(e)=be-

a

e

-2 可得ae-

b

e

-2=be-

a

e

-2结合e+

1

e

≠0可求a，b的关系
（2）由（1）知g′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，构造函数h（x）=ax²-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：h（x）≥0恒成立即a≥

2x

1+x2

在(0，+∞)上恒成立，利用基本不等式可求

2x

1+x2

得最大值，而a≥

2x

1+x2

得最大值
（3）证明：①即证：lnx-x+1≤0  （x＞0），设k（x）=lnx-x-1，由导数可判断x=1为k（x）的极大值点，而k（x）≤k（1）可证，
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，可得

lnx

x

≤

x-1

x

=1-

1

x

令x=n²，得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

，从而可得

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)，利用该不等式放缩可证

解答：解：（1）由题意g(x)=ax-

b

x

-2lnx
∵g(e)=be-

a

e

-2   
∴ae-

b

e

-2=be-

a

e

-2
∴(a-b)e+(a-b)

1

e

=0
∴(a-b)(e+

1

e

)=0
∵e+

1

e

≠0∴a=b
（2）由（1）知：由题意g(x)=ax-

b

x

-2lnx（x＞0）
g′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

令h（x）=ax²-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：
h（x）≥0恒成立．
即ax²-2x+a≥0
a≥

2x

1+x2

在(0，+∞)上恒成立
又00＜

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤ 

2

2 x• 1 x

=1(x＞0)
所以a≥1
（3）证明：①即证：lnx-x+1≤0  （x＞0），
设k（x）=lnx-x-1，则k′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴x=1为k（x）的极大值点，
∴k（x）≤k（1）=0．
即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，
∴

lnx

x

≤

x-1

x

=1-

1

x

∵nn∈N^*，n≥2，令x=n²，得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

∴

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

)
=

1

2

[(n-1)]-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)]＜

1

2

[(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

]
=

1

2

[n-1-(

1

2

 -

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

[n-1-(

1

2

-

1

n+1

)]=

2n2-n-1

4(n+1)

点评：本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性、函数的极值的求解及利用放缩法证明不等式，还要注意裂项求和在解题中的应用，属于综合性试题