Question

【题目】已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为（ ）

A.3B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到的最大值．

解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，

设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：

则，因为，

故可得：；

所以：三角形为等边三角形，故是的中心，

连接，则平分，；

所以，即，

即四面体的外接球的半径为．

另正四面体可以从正方体中截得，如图：

从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，

而正四面体的四个顶点都在正方体上，

故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，

所以，

所以．

即的最大值为．

故选：B．