Question

【题目】函数f（x）=x2+bx﹣1（b∈R）．
（1）若函数y=f（x）在[1，+∞）上单调，求b的取值范围；
（2）若函数y=|f（x）|﹣2有四个零点，求b的取值范围；
（3）若函数y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值为g（b），求g（b）的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=x2+bx﹣1的图像是开口朝上，且以直线x=﹣ 为对称轴的抛物线，

∵y=f（x）在[1，+∞）上单调，

∴﹣ ≤1，

即：b≥﹣2

（2）解：函数y=|f（x）|﹣2有四个零点，即函数y=|f（x）|与直线y=2有四个交点，

∵ 的最小值为

∴只需 即：b∈（﹣1，1）

（3）解：①当b＞0时，函数y=|f（x）|在[0，b）上单调增，

g（b）=max{|f（0）|，|f（b）|}=max{1，|2b2﹣1|}=

②当b＜0时，|f（0）|=f（|b|）=1，

又 ＞1，所以g（b）=

综上所述，g（b）=

【解析】（1）函数f（x）=x2+bx﹣1的图像是开口朝上，且以直线x=﹣ 为对称轴的抛物线，若函数y=f（x）在[1，+∞）上单调，则﹣ ≤1，解处b的取值范围；（2）若函数y=|f（x）|﹣2有四个零点，则 ，解得b的取值范围；（3）若函数y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值为g（b），结合二次函数的图像和性质分类讨论，可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．