Question

【题目】若函数满足：对任意实数以及定义中任意两数、（），恒有，则称是下凸函数.

（1）证明：函数是下凸函数；

（2）判断是不是下凸函数，并说明理由；

（3）若是定义在上的下凸函数，常数，满足：，，且，求证：，并求在上的解析式.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析; （2） 不是;理由见解析; （3）证明见解析;

【解析】

（1）根据定义,代入不等式作差证明不等式成立,即可证明函数是下凸函数.

（2）利用特殊值法, 令代入后检验不等式左右的大小,即可判断不等式是否成立.

（3）根据极限定义,可求得当时的极限值;结合不等式,即可求得的值.进而利用赋值法求得上的解析式.

（1）证明:对任意实数、（）,

有

因为,实数、（）

所以

即

所以函数是下凸函数

（2）不是下凸函数

理由如下:

令

则不等式左边

不等式右边

因为,

所以,即

即

所以

与定义矛盾

所以不是下凸函数

（3）证明:因为是定义在上的下凸函数,常数,满足：,,且

所以当时,

而对于任意,

所以

而当时,由 可得

综上可知,即

得证.

根据下凸函数满足,

令

代入可得

而

所以，

又因为,

所以当时