Question

【题目】已知函数的图象在点处的切线斜率为，其中为自然对数的底数．

（1）求实数的值，并求的单调区间；

（2）证明：．

Answer 1

【答案】（1），函数的单调递减区间，函数单调递增区间；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求，结合导数与单调性关系即可求解．

（2）要证明原不等式成立，可转化为证明求解相应函数的范围，进行合理的变形后构造函数，结合导数可证．

解：（1）函数的定义域为.，由题意可得，e，故a，.

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）证明：设，则.

当x时，，函数单调递减，当x时，，函数单调递增，故.

设，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故.

综上可得，时，恒有，即．