Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2．

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）曲线C2上两点与点B（ρ2，α），求△OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝1（y≠0）．（2）．

【解析】

（1）设出的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为;

（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.

解：（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ＞0），M的极坐标为（ρ0，θ）（ρ0＞0）．

由题设知|PO|＝ρ，．

由4，

得，

所以C2的极坐标方程ρ＝2sinθ（ρ＞0），

因此C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1（y≠0）．

（2）依题意：，|OB|＝ρ2＝2sinα．

于是△OAB面积：S．

当时，S取得最大值．

所以△OAB面积的最大值为．