Question

【题目】(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆 (a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.

(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；

(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）根据题意，求得 ，代入点，求得，即可求解椭圆的方程；

（2）由点在直线上，得到的方程，联立方程组，求解点的坐标，再根据，列出方程求得，即可得到椭圆的离心率．

试题解析：

解　设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c，0).

(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.

又BF2＝，故a＝.

因为点C在椭圆上，所以＋＝1.

解得b2＝1.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，

所以直线AB的方程为＋＝1.

解方程组得

所以点A的坐标为.

又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.

因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，

所以·＝－1.

又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.因此e＝.