Question

【题目】椭圆的中心在原点O，短轴长为 ，左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），直线 与x轴交于点A，且 ，过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点．

（1）求椭圆的方程．
（2）若 ，求直线PQ的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设 ，

则 ， ，

解得a2=4，c=1，

所以椭圆方程为 ．

（2）解：设PQ的方程为y=k（x+4），P（x1，y1），Q（x2，y2），F（﹣1，0）

∵PF⊥QF，∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，

即 ， ．

联立得

消去y，得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12=0，

由△＞0，得 ．

∴ ．

代入（*）式化简，得8k2=1，∴ ．

则直线PQ的方程为 ．

【解析】（1）设 ，由题意可得 ， ，c2=a2+b2 ， 解出即可；（2）设PQ的方程为y=k（x+4），P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），F（﹣1，0），把方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用 即可得出．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．