Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）令，已知函数有两个极值点，且，

①求实数的取值范围；

②若存在，使不等式对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）求出导数，计算，，由点斜式写出切线方程并整理成一般式.

（2）①求出，由，可得有两个满足题意的不等实根，由二次方程根的分布可得的取值范围；②由①求出两极值点，确定的单调性，得在单调递增，因此题设中使不等式成立，取的最大值，使之成立即可，化简为不等式，对任意的恒成立，引入函数，由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条件.

（1）当时，，，

时，，，

在处的切线方程为，

化简整理可得.

（2）①对函数求导可得，，

令可得，，

解得实数的取值范围为.

②由，解得，

而在上递增，在上递减，在上递增，

，，

在单调递增，

在上，，

，使不等式，

对恒成立，等价于不等式

恒成立，

即不等式对任意的恒成立.

令，

则，

当时，，在上递减，即，不合题意.

当时，

，

若，即时，则在上递减，

，

时，不能恒成立；

若，即时，

则在上递增，

恒成立，

实数的取值范围