Question

【题目】已知函数f（x）＝xex，g（x）＝a（lnx+x）.

（1）当a＝e时，求证：f（x）≥g（x）恒成立；

（2）当a＞0时，求证：f（x）≤g（x）+1恒有解.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）令，，求导后即可得证；

（2）构造函数，问题转化为，h（x）最小值不大于1即可，利用导数求最值直接证明即可．

证明：（1）当a＝e时，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝xex﹣e（lnx+x），x＞0，则，

由h′（x）＝0得x＝1，当x＞1时，h′（x）＞0，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，

∴当x＝1时，h（x）取得最小值，即h（x）≥h（1）＝0，

∴f（x）≥g（x）；

（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝xex﹣a（lnx+x），则，

令m（x）＝xex﹣a（x＞0），则m′（x）＝（x+1）ex＞0，

∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，

∵a＞0，

∴m（0）＝﹣a＜0，m（a）＝aea﹣a＞0，

因此存在x0∈（0，a），使得，

当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，

∴当x＝x0时，h（x）取最小值，，

令s（a）＝a（1﹣lna），a＞0，s′（a）＝﹣lna，当a＞1时，s′（a）＜0，当0＜a＜1时，s′（a）＞0，

所以当a＝1时，s（a）取得最大值，即s（a）≤s（1）＝1，

∴f（x）≤g（x）+1恒有解.