Question

已知M（4，0），N（1，0）若动点P满足
（1）求动点P的轨迹方C的方程；
（2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x+2y-12=0的距离的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动点P（x，y），则由已知P满足可知P的轨迹方程
（2）解法一：由几何性质意义知，椭圆C与平行的切线其中一条和l的距离等于Q与l的距离的最小值．
把x+2y+D=0代入椭圆方程消去x，由△=0可得D，进而可求最小距离
解二：由集合意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l′和l的距离等于Q与l的距离的最小值．设切点为R（x，y），则l′：=1，k=-，联立可求x，y，代入可求最小距离
解三：由椭圆参数方程设sinθ），由点Q与l距离d=，结合三角函数的性质可求
解四：设Q（x，y），=1且Q与l距离d=，由柯西不等式可求
解答：解：（1）设动点P（x，y），则=（1-x，-y）
由已知得-3（x-4）=6=12即=1
∴点P的轨迹方程是椭圆C：=1
（2）解一：由几何性质意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l‘和l的距离等于Q与l的距离的最小值．
设l′：x+2y+D=0
代入椭圆方程消去x化简得：16y²+12Dy+3（D²-4）=0∴△=144D²-192（D²-4）=0⇒D=±4
l′与l距离的最小值为
∴Q与l距离的最小值为
解二：由集合意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l‘和l的距离等于Q与l的距离的最小值．设切点为R（x，y），则l′：=1k=-
解得∴l′为x+2y±4=0
l′与l距离的最小值为
∴Q与l距离的最小值为
解三：由椭圆参数方程设sinθ）
则Q与l距离d=∴sin（θ+30°）=1时d_min=
解四：设Q（x，y），=1
且Q与l距离d=
由柯西不等式，
∴|x+2y|≤4，
∴d_min=
点评：本题以向量的数量积的定义为载体，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，注意体会了一题多解 的方法的应用．