Question

已知函数f(x)=

px2+2

-3x

，且f(2)=-

5

3

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入函数的解析式，列出关于p的方程，求解即可；
（2）由（1）求出的解析式，根据分母不为零求出函数的定义域，然后验证f（x）与f（-x）的关系，判断出函数的奇偶性；
（3）先把解析式化简后判断出单调性，再利用定义法证明：在区间上取值-作差-变形-判断符号-下结论，因解析式由分式，故变形时必须用通分．

解答：解：（1）由题意知f(2)=-

5

3

，f(x)=

px2+2

-3x

即f(2)=

4p+2

-6

=-

5

3

，解得p=2
则所求解析式为f(x)=

2x2+2

-3x

（2）由（1）得，f(x)=

2x2+2

-3x

，则此函数的定义域是{x|x≠0}，
∵f（-x）=

2x2+2

3x

=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（3）由（1）可得f(x)=

2x2+2

-3x

=-

2

3

(x+

1

x

)，则函数f（x）在区间（0，1）上是增函数，
证明如下：设0＜x₁＜x₂＜1，
∴f(x1)-f(x2)=

2

3

[(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)]=

2

3

[(x2-x1)+(

1

x2

-

1

x1

)]
=

2

3

[(x2-x1)+

x1-x2

x1x2

]=

2

3

(x1-x2)(

1

x1x2

-1)=

2

3

(x1-x2)×

1-x1x2

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，0＜x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在区间（0，1）上是增函数．

点评：本题考查了有关函数的性质综合题，用待定系数法求解析式，用定义法证明函数的奇偶性和单调性，必须遵循证明的步骤，考查了分析问题和解决问题能力．