Question

【题目】已知椭圆 的左，右焦点，，上顶点为，，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若点.为椭圆上的两个不同的动点，且（为坐标原点），则是否存在常数，使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数和这个定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 时，

【解析】

（Ⅰ）结合题目条件得，再由条件的面积最大值为得，结合，联立方程组即可求出，从而得到椭圆方程.

（Ⅱ）当直线斜率存在时，设出直线方程，求出原点到直线的距离，再联立直线方程与椭圆方程，消去得到关于的一元二次方程，然后利用韦达定理得到，结合数量积的坐标运算以及将转化为，其对任意恒成立，从而得到关于和的方程组，从而求出和；再验证斜率不存在的情况也符合.

(Ⅰ)由题得， ，解得 ，

椭圆的标准方程为.

(Ⅱ)设 ，，当直线AB的斜率存在时，

设其直线方程为：，

则原点到直线的距离为，

联立方程，

化简得，，

由得，

则，，

即对任意的恒成立，

则 ，，

当直线斜率不存在时，也成立.

故当时，点到直线AB的距离为定值.