Question

【题目】已知定点，定直线，动圆经过点且与直线相切.

（I）求动圆圆心的轨迹方程；

（II）设点为曲线上不同的两点，且，过两点分别作曲线的两条切线，且二者相交于点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)4

【解析】

（Ⅰ）根据圆心运动的特点，得到其轨迹，求出轨迹方程.

（Ⅱ）直线与抛物线联立，得到的关系，再利用导数求出过两点的两条切线，表示出的面积，找到其最小值.

(Ⅰ)由题意知，动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等，

所以圆心的轨迹方程以为焦点，直线为准线的抛物线，

动圆圆心的轨迹方程为： .

(Ⅱ)由得，三点共线，

设直线方程为：，则

，

于是，，

因为，所以，

得，即

同理，即

联立

得：，，，

，即 .

点到的距离为，

，

当时，最小，最小面积为4.