Question

【题目】若定义在D上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界，已知函数，．

求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由；

若函数在上是以3为上界的函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）求函数的导数，研究函数的值域结合有界函数的定义进行判断即可．

（2）若函数在上是以为上界的函数得，利用绝对值的性质结合函数单调性的性质可求得，就分类讨论可得的取值范围．

（1）．

则，

设函数，则．

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

故当时，，当且仅当时，，

从而，当且仅当时，，

所以在上单调递增，

又，，

故在上的值域为，故，

故在上是有界函数．

（2）由，得在上恒成立．

故在上恒成立①，

由（1）可知 在上单调递增，且．

当时，有，

则有，解得．

当时，有

若，则，所以；

若，则，所以．

综上，实数的取值范围是 ．