Question

【题目】已知实数，设函数.

（1）当，时，证明：；

（2）若有两个极值点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析

【解析】

（1）转化原不等式为，令，，对称轴，求导分析单调性，可得在上单调递增，在上递减，在上递增，只需证明，构造，分析单调性，即可得证；

（2）求导，由为极值点，可得，，化简可得，继而构造函数可证明，

令可得，令，求导研究单调性，可证明，即得证

（1），即为

即

令，则

令

令对称轴

则

时， 时， 时，

在上单调递增，在上递减，且

在上递增

故只需证明，即证

即

令

则

在上单调递减，而

当时，，当时，即成立

当时，成立；

（2）

有两个极值点

令

当时，；当时，

在上递减，上递增

故即

由 可得

则

由得，下证即

即证

等价于证明

令

故

令 则

令

则

在上递减

即