Question

【题目】给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．

（1）求a的值；

（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m (m≥3，m∈N*) 阶子数列，且b1＝ (k为常数，k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1；

（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m (m≥3，m∈N*) 阶子数列，

求证：c1＋c2＋…＋cm≤2－ ．

Answer 1

【答案】（1）a＝0（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）利用等差数列的定义及其性质即可得出；（2）设等差数列的公差为，由，可得，再利用等差数列的通项公式及其不等式的性质即可证明；（3）设（），等比数列的公比为，由，可得，从而（， ），再利用等比数列的前项和公式、函数的单调性即可得出.

试题解析：（1）因为成等差数列，所以．

又因为， ， ，

代入得，解得．

（2）设等差数列的公差为，因为，所以，

从而，所以．

又因为，所以，即，所以

又因为，所以．

（3）设，等比数列的公比为，因为，所以，从而（， ）．

所以，

设函数，（ ， ）．

当时，函数为单调增函数，因为当，

所以，所以，即．