[题目]分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂.但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式.即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形.如图1.线段的长度为a.在线段上取两个点C.D.使得.以为一边在线段的上方做一个正六边形.然后去� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点C、D，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图二中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依次类推，我们就得到了以下一系列图形；

记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，若对任意的正整数n，都有．则正数a的最大值为______．

【答案】

【解析】

由题意归纳可得()，利用累加法可得，进而可得，即，即可得解.

由题意，得图1中的线段为a，，

图2中的正六边形边长为，；

图3中的最小正六边形的边长为，；

图4中的最小正六边形的边长为，；

由此类推，可知，()，

故当时，

，

当时，，满足上式，

所以，从而，即，

所以存在最大的正数．满足题意．

故答案为：.

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