Question

【题目】在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以好多瓷器都做成六棱形和八棱形.数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，如图，底面边长为，高为（底部及筒壁厚度忽略不计）.一根长度为的圆铁棒（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，的一端置于正六棱柱某一侧棱的底端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据铁棒的长、六棱柱的结构特征，可求得水面高度；由正六边形内切圆的性质可求得六棱柱体上面截得圆的半径，设球的半径为，表示出球心到截面圆的距离，即可求得球的半径，进而得球的表面积.

六棱柱笔筒的边长为，高，铁棒与底面六边形的最长对角线、对棱的部分长构成直角三角形，

所以，

∴，所以容器内水面的高度为.

设球的半径为，

则球被六棱柱体上面截球所得圆即为正六边形的内切圆，所以圆的半径为，

六棱柱笔筒的高，水面的高度为，则球心到截面圆的距离为，

则，解得，

∴球的表面积为.

故答案为：.