Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）对于任意且时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）对f（x）求导，分和，确定导函数的正负，从而判断函数的单调性；

（2）由题意原不等式可变形为恒成立，构造函数，原题转化为在上为单调增函数，即对恒成立，分离参数得到，利用导数研究不等式右边函数的最值即可．

（1），

当时，，此时在上为单调增函数；

当时，在上有，在为单调减函数；在上有，在为单调增函数.

综上所述：当时，在上为单调增函数；

当时，在为单调减函数，在为单调增函数.

（2）∵恒成立，

∴恒成立，

令

题意即为恒成立，而，

故上述不等式转化为在上为单调增函数，

即对恒成立；

，

题意即为不等式对恒成立，

即对恒成立，

则

令，

，在上为增函数，且；

于是在上有，在上有，

即函数在上为减函数，在上为增函数，

所以在处取得最小值，

因此，故实数的范围为