Question

【题目】已知函数.

（1）若的反函数是，解方程：；

（2）设，是否存在，使得等式成立？若存在，求出的所有取值，如不存在，说明理由；

（3）对于任意，且，当、、能作为一个三角形的三边长时，、、也总能作为某个三角形的三边长，试探究的最小值.

Answer 1

【答案】（1）0，；（2）不存在，理由见解析；（3）2.

【解析】

（1）求出的反函数是，直接求解方程即可。

（2）分类讨论，利用三角函数的值域即可得到结论。

（3）正面情形根据三角形三边的大小进行推理分析求解，不成立的情形举反例说明。

（1）的反函数是，由方程

可得解得或

故或

（2）

由，由，

则方程为：

当时，无解；

当时，，所以

所以或无解；

当时，

所以无解；

综上所述，对于一切正整数原方程都无解。故不存在

（3）由题意知，

若、、也总能作为某个三角形的三边长，

则，

当时，有，即、、作为一个三角形的三边长时能作为三角形的三边

又当时，取，，有,即，

此时、、能作为一个三角形的三边长，但，

即，即不能作为三角形的三边，

综上所述，的最小值为