Question

已知函数f（x）=-x|x|+px．
（Ⅰ）当p=2时，画出函数f（x）的一个大致的图象，并指出函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-（p-1）（2x²+x）-1在区间[1，+∞）内有零点，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 当p=2时，f（x）=-x|x|+2x=

-x2+2x，x≥0 x2+2x，x＜0

，可画出函数f（x）的大致的图象，从而可得单调递增区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-（p-1）（2x²+x）-1在区间[1，+∞）内有零点，则方程-x²+px-2px²-px+2x²+x-1=0在区间[1，+∞）内有解，即方程2p=-(

1

x

)2+

1

x

+1在区间[1，+∞）内有解，求出右边函数的值域即可得到实数p的取值范围．

解答：解：（Ⅰ） 当p=2时，f（x）=-x|x|+2x=

-x2+2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
函数f（x）的大致的图象如图，单调递增区间为[-1，1]；　　　　　　　　（3分）
（Ⅱ）若函数y=f（x）-（p-1）（2x²+x）-1在区间[1，+∞）内有零点，
则方程-x²+px-2px²-px+2x²+x-1=0在区间[1，+∞）内有解，
即方程2p=-(

1

x

)2+

1

x

+1在区间[1，+∞）内有解．（5分）
令t=

1

x

，则t∈（0，1]，-t2+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

∈[1，

5

4

]．
∴1≤2p≤

5

4

，
∴

1

2

≤p≤

5

8

．　　　　　（8分）

点评：本题考查绝对值函数，考查函数的零点，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，求函数的值域．