Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数在上是单调递增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）将问题转化为对恒成立，然后利用参变量分离法得出，于是可得出实数的取值范围；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数在上是增函数，设，并设

，得知在区间上为减函数，转化为在上恒成立，利用参变量分离法得到，然后利用导数求出函数在上的最大值可求出实数的取值范围。

（Ⅰ）易知不是常值函数，∵在上是增函数，

∴恒成立，所以，只需；

（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，

不妨设，

则，可化为，

设，则，

所以为上的减函数，即在上恒成立，

等价于在上恒成立，

设，所以，

因，所以，所以函数在上是增函数，

所以（当且仅当时等号成立）．

所以．即的最小值为12．