Question

【题目】如图，已知多面体，，，均垂直于平面ABC，，，，

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成的锐角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能证明AB1⊥平面A1B1C1．

（2）求出平面AB1C1的一个法向量和平面ABB1的一个法向量，利用向量法能求出平面AB1C1与平面ABB1所成的角的余弦值．

（1）由，，均垂直于平面ABC，则平面平面ABC

∴取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，

∵AB＝BC，∴OB⊥OC，

∵AB＝BC＝2，∠BAC＝120°，∴OB＝1，OA＝OC，

以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（0，，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，1），A1（0，，4），

∴（1，，0），（0，2，1），

，，

由，得．

由，得，

∴平面．

（2）设平面的一个法向量为，

则由，得．

设平面ABB1的法向量为，则，

∴，令y＝1可得（，1，0），

∴，

∴平面与平面所成的锐角的余弦值为．