Question

【题目】已知函数，其中为参数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（3）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）运用导数的几何意义先求切线的斜率，再运用直线的点斜式方程求解；（2）先对函数求导，再构造函数，运用导数与函数的单调性之间的关系，运用分类整合的数学思想进行分析求解；（3）依据不等式恒成立的条件，运用导数与函数的单调性之间的关系，结合分析推证的数学思想进行分析推证：

（1）

（2），定义域为

，设，

当时， ，故，

所以在上为增函数，所以无极值点.

②当时， ，

若时， ，故，故在上递增，所以无极值点.

若时，设的两个不相等的实数根为，且，

且，而，则，

所以当单调递增；

当单调递减；

当单调递增.

所以此时函数有两个极值点；

③当时，设的两个不相等的实数根为，且，

但，所以，

所以当单调递増；

当单调递减.

所以此时函数只有一个极值点。

综上得：

当时有一个极值点；

当时的无极值点；

当时， 的有两个极值点.

（3）方法一：

当时，由（2）知在上递增，

所以，符合题意；

当时， ， 在上递增，所以，

符合题意；

当时， ，所以函数在上递减， 所以，

不符合题意；

当时，由（1）知，于是

当时， ，此时，不符合题意.

综上所述， 的取值范围是.

方法二： ，注意到对称轴为， ，

当时，可得，故在上递增，所以，符合题意；

当时， ，所以函数在上递减， 此时，

不符合题意；

当时，由（1）知，于是

当时， ，此时，不符合题意.

综上所述， 的取值范围是.